Question

（1）山水城市鎮(zhèn)江有“三山”--金山、焦山、北固山，一位游客游覽這三個景點的概率都是0.5，且該游客是否游覽這三個景點相互獨立，用ξ表示這位游客游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)差的絕對值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）某城市有n（n為奇數(shù)，n≥3）個景點，一位游客游覽每個景點的概率都是0.5，且該游客是否游覽這n個景點相互獨立，用ξ表示這位游客游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)差的絕對值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）游客游覽景點個數(shù)為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3，ξ=1表示游覽一個景點或游覽兩個景點，ξ=3表示游覽景點數(shù)為0或游覽了三個景點，根據(jù)n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），進而得到分布列和期望；
（2）當n=2k+1，k∈N^*時，游客游覽景點個數(shù)可能為：0，1，2，…，2k+1，則ξ可能取值為：1，3，5，…，2k+1．根據(jù)獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k次的概率計算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1-0）×2×+[（2k+1-1）-1]×2×+[（2k+1-2）-2]×2×+…+[2k+1-k）-k]×2×，分組后利用性質(zhì)=n（i=1，2，3，…，n）對上式即可進行化簡，最后再換為n即可；
解答：解：（1）游客游覽景點個數(shù)為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3，
P（ξ=1）=+=2=，
P（ξ=3）=+=2=，
ξ的分布列為：
 
 所以Eξ=1×+3×=．
（2）當n=2k+1，k∈N^*時，游客游覽景點個數(shù)可能為：0，1，2，…，2k+1，
ξ可能取值為：1，3，5，…，2k+1．
P（ξ=1）=+=2×；
P（ξ=3）=+=；
…
P（ξ=2k+1）=+=2×，
∴ξ的分布列為：

∴Eξ=（2k+1-0）×2×+[（2k+1-1）-1]×2×+[（2k+1-2）-2]×2×+…+[2k+1-k）-k]×2×
=2×{[（2k+1）+2k+（2k-1）+…+（2k+1-k）]-[（0×+1+2×+…+]}
=2×{[（2k+1）×+2k×+（2k-1）×+…+（k+1）]-[0×+1×+…+]}，
∵=n（i=1，2，3，…，n），
Eξ=2×{（2k+1）×[]-（2k+1）×[]}
=2××（2k+1）×[（）-（+）]
=2××（2k+1）×
=．
答：ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ為．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望，考查n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k的概率計算公式，考查組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力，本題綜合性強，能力要求高，屬難題．