Question

設(shè)函數(shù)f（x）在R上滿足f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），且在閉區(qū)間[0，8]上只有f（1）=f（5）=f（7）=0．
（1）求證函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-10，0]上的所有零點(diǎn)；
（3）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2012，2012]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及所有零點(diǎn)的和．

Answer 1

分析：（1）利用周期函數(shù)的定義證明．（2）利用周期性結(jié)合已知條件提供的零點(diǎn)，求出其他的零點(diǎn)．
（3）利用周期性可以判斷在閉區(qū)間[-2012，2012]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及所有零點(diǎn)的和

解答：解：（1）由f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），
得f（x）=f（x+10），所以函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，周期為T=10．
（2）由f（8+x）=f（8-x）知f（9）=f（7）=0，f（1）=f（1-10）=f（-9）=0，
f（5）=f（5-10）=f（-5）=0，f（7）=f（7-10）=f（-3）=0，f（9）=f（9-10）=f（-1）=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-10，0]上的零點(diǎn)分別有-1，-3，-5，-9．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)的周期是10，由（2）知一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，所以在區(qū)間[-2010，2010]內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2×201×4=1608個(gè)零點(diǎn)．
又f（2011）=f（1）=f（-9）=0，f（2012）=f（2），f（-2011）=f（-1）=0，f（-2012）=f（-2），
所以2011，-2011也是兩個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間[-2012，2012]上共有1608+2=1610個(gè)零點(diǎn)．零點(diǎn)之為804．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)周期性和函數(shù)零點(diǎn)的判斷，綜合性較強(qiáng)．