Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在與x無(wú)關(guān)的正常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“有界泛函”，給出以下函數(shù)：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=2^x；(3)f(x)=

x

x2+x+1

；（4）f（x）=xsinx．其中是“有界泛函”的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)F函數(shù)的定義進(jìn)行判定：對(duì)于（1）、（2）兩個(gè)函數(shù)無(wú)最大值故不存在這樣的M對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立；對(duì)于（3），需要通過(guò)討論，將不等式變形為 |

1

x2+x+1

| ≤m，可以求出符合條件的m的最小值為

4

3

，如此可得到正確結(jié)論；對(duì)于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，當(dāng)M≥1時(shí)，f（x）=xsinx是有界泛函．．

解答：解：對(duì)于（1），|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故不是有界泛函；
對(duì)于（2），|f（x）|=|2^x|≤M|x|，不存在這樣的M對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故不是有界泛函；
對(duì)于（3），要使|f（x）|≤m|x|成立，即|

x

x2+x+1

| ≤m|x|
當(dāng)x=0時(shí)，m可取任意正數(shù)；當(dāng)x≠0時(shí)，只須m≥|

1

x2+x+1

|的最大值；因?yàn)閤²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以m≥

4

3

，因此，當(dāng)m≥

4

3

時(shí)，f（x）=

x

x2+x+1

是有界泛函；
對(duì)于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，當(dāng)M≥1時(shí)，f（x）=xsinx是有界泛函．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于開(kāi)放式題，題型新穎，考查數(shù)學(xué)的閱讀理解能力．知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強(qiáng)的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，對(duì)選支逐個(gè)加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論．