Question

（2007•武漢模擬）（文）一過定點(diǎn)P（0，1）的直線l 截圓C：（x-1）²+y²=4所得弦長為2

2

，則直線l 的傾斜角α為

π

4

．

Answer 1

分析：若直線l的斜率不存在，不合題意，故直線l的斜率存在，設(shè)為k，由直線l過定點(diǎn)P，由P和設(shè)出的斜率k，表示出直線l的方程，再根據(jù)垂徑定理，由弦的一半及半徑求出弦心距的長，同時(shí)由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，使d等于求出的弦心距列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線l的斜率，由直線斜率與傾斜角的關(guān)系，得到tanα的值，根據(jù)傾斜角α的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α的度數(shù)．

解答：解：顯然直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的斜率為k，又直線l過P（0，1），
∴直線l的方程為：y-1=kx，即kx-y+1=0，
由圓的方程得到圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑r=2，又弦長m=2

2

，
∴圓心到直線的距離為

r2-( m 2 )2

=

2

，
又圓心到直線l的距離d=

|k+1|

k2+1

=

2

，解得k=1，
∴tanα=k=1，又α∈（0，π），
則直線l的傾斜角α=

π

4

．
故答案為：

π

4

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直線的斜截式方程，以及直線斜率與傾斜角的關(guān)系，涉及的知識有：垂徑定理，點(diǎn)到直線的距離公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中根據(jù)垂徑定理求出弦心距，同時(shí)表示出圓心到直線l的距離，兩者相等列出關(guān)于k的方程是解本題的關(guān)鍵．