Question

橢圓上到兩個焦點(diǎn)距離之積最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．

Answer 1

（±5，0）
分析：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁，F(xiàn)₂，依題意可知|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，從而得出|PF₁|•|PF₂|，根據(jù)x的取值范圍可求得|PF₁|•|PF₂的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=a時等號成立，根據(jù)橢圓對稱性可知當(dāng)點(diǎn)動P在橢圓的長軸頂點(diǎn)時，等號成立．點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．
解答：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁，F(xiàn)₂，橢圓上一點(diǎn)P（x，y），
依題意可知|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
從而得出|PF₁|•|PF₂|=（a+ex）（a-ex）=a²-e²x²，
根據(jù)x的取值范圍[-a，a]，
得|PF₁|•|PF₂的最小值a²-e²a²，當(dāng)且僅當(dāng)x=±a時等號成立，
根據(jù)橢圓對稱性可知當(dāng)點(diǎn)動P在橢圓的長軸頂點(diǎn)時，等號成立
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（±5，0）．
故答案為：（±5，0）
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的基本性質(zhì)．考查了學(xué)生對橢圓定義的理解和運(yùn)用．