Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，CO交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E，求證：AB•CD=AC•AE．

Answer 1

【答案】分析：連接AD．要證AB•CD=AC•AE，即證=．由△ACD∽△DCE，可得=；由△AED∽△BEA，可得=．
=．即可得出AB•CD=AC•AE．
解答：證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BE．
∵AC是⊙O的切線，
∴∠EAD=∠B．
∵BO=DO，
∴∠B=∠ODB=∠EDC，
∴∠EAD=∠EDC．
又∠C=∠C，∴△ACD∽△DCE，
∴=；
在Rt△AEB中，AD⊥BE，∠EAD=∠B，
∴△AED∽△BEA，
∴=，
∴=．
∴AB•CD=AC•AE．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，本題可以通過(guò)兩組相似三角形的性質(zhì)得出的比例式綜合應(yīng)用即可證明．