Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓上，∠F₁PF₂=60°，設(shè)

|PF1|

|PF2|

=λ
（I）當(dāng)λ=2時(shí)，求橢圓離心率e；
（II）當(dāng)橢圓離心率最小時(shí)，PQ為過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂的弦，且|PQ|=

16

5

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（I）由

|PF1|

|PF2|

=2，|PF₁|+|PF₂|=2a，知|PF1| =

4

3

a，|PF₂|=

2

3

a，再由cos∠F₁PF₂=

(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|

2|PF1| |PF2|

=

1

2

，能夠推導(dǎo)出橢圓離心率e．
（II）由題設(shè)知

|PF1 =λ|PF2 |PF1 +|PF2 =2a

，故

|PF1 = λ 1+λ •2a |PF2 = 1 1+λ •2a

，再由cos∠F₁PF₂=

(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|

2|PF1| |PF2|

=

1

2

，知

4a2-4c2

λ (1+λ)2 •4a2

=3，由此結(jié)合|PQ|=

16

5

，能夠求出橢圓的方程．

解答：（I）解：

|PF1|

|PF2|

=2，∴|PF₁|=2|PF₂|，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，∴|PF1| =

4

3

a，|PF₂|=

2

3

a，
cos∠F₁PF₂=

(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|

2|PF1| |PF2|

=

1

2

，
∴

4a2-4c2

2• 8 9 a2

=

3

2

，∴

c2

a2

=

1

3

，∴e=

3

3

．
（II）解：

|PF1 =λ|PF2 |PF1 +|PF2 =2a

?

|PF1 = λ 1+λ •2a |PF2 = 1 1+λ •2a

，
cos∠F₁PF₂=

(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|

2|PF1| |PF2|

=

1

2

，
∴

4a2-4c2

λ (1+λ)2 •4a2

=3，∴1-e2=

3λ

(1+λ)2

，∴e2=1-

3λ

1+2λ+λ2

=1-

3

1 λ +2+λ

≥1-

3

4

=

1

4

．
取等號(hào)時(shí)，λ=1，|PF2| =

1

1+λ

•2a=a，
∴p（0，b），k=-

b

c

=-

3

，∴

x2 4c2 + y2 3c2 =1 y=- 3 (x-c)

，
∴5x²-8cx=0，∴x1+x2=

8c

5

，
|PQ|=2a-e(x1+x2)  =4c-

1

2

• 

8c

5

=

16

5

，
∴c=1，∴

x2

4

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地選用公式．