已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝lg(＋1)＋3x

(1)設(shè)g(x)是R上的奇函數(shù)，h(x)是R上的偶函數(shù)，且滿足f(x)＝g(x)＋h(x)，試求g(x)與h(x)；

(2)設(shè)a、b∈R，證明a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)的充分必要條件．

答案：
解析：

(1)由f(x)＝g(x)＋h(x)　　∴f(－x)＝g(－x)＋h(－x)．

∵g(x)是奇函數(shù)，h(x)是偶函數(shù)

∴f(－x)＝－g(x)＋h(x)

∴g(x)＝[f(x)－f(－x)]，h(x)＝[f(x)＋f(－x)]．

g(x)＝[lg(＋1)＋3x－lg(＋1)＋3x]．

＝

＝

＝

＝．

h(x)＝f(x)－g(x)＝＋3x－＝－．

(2)任取＜

∵＜　　∴＞0．

＞，＋1＞＋1＞0，＞1，＞0

∴－＞0，

即f(x)是定義域R上的增函數(shù)．

由a＋b＞0，∴a＞－b，b＞－a．

∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，將兩式相加

∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)

即a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)成立的充分條件．

由f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，

∴g(a)＋h(a)＋g(b)＋h(b)＞g(－a)＋h(－a)＋g(－b)＋h(－b)．

∵g(a)是奇函數(shù)，h(x)是偶函數(shù)，

∴g(a)＋h(a)＋g(b)＋h(b)＞－g(a)＋h(a)－g(b)＋h(b)．

∴2[g(a)＋g(b)]＞0．

∴＞0，即a＋b＞0．

即f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)是a＋b＞0成立的必要條件．

綜上，a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)成立的充分必要條件．


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列條件：
①對任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函數(shù)，
則下列不等式中正確的是（　�。�

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已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  則：
①f（3）的值為
0
0
，
②f（2011）的值為
-1
-1
．

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已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]時f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，則f（3）=（　�。�

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已知定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，對x∈R都有f（2+x）=f（2-x），當f（-3）=-2時，f（2013）的值為（　　）
A、-2B、2C、4D、-4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，則f（2013）=（　�。�
A、0B、2013C、3D、-2013

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