Question

5．直角坐標系xOy中，已知點M（-1，0）、N（1，0），點P到點M的距離是到點N的距離的$\sqrt{3}$倍，
（1）求點P的軌跡E的方程；
（2）已知不經(jīng)過原點的直線l：y=-x+b與軌跡E交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓恒經(jīng)過點N，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用點M（-1，0）、N（1，0），點P到點M的距離是到點N的距離的$\sqrt{3}$倍，建立方程，即可求點P的軌跡E的方程；
（2）不經(jīng)過原點的直線l：y=-x+b與軌跡E聯(lián)立得2x²-（4+2b）x+1+b²=0，設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）因為以AB為直徑的圓恒經(jīng)過點N（1，0），即有NA⊥NB，$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=0．由根與系數(shù)的關系得b，即可求出|AB|．

解答 解：（1）設點P（x，y），依題意，$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
化簡，得（x-2）²+y²=3，此即點P的軌跡E的方程；…（4分）
（2）聯(lián)立直線l：y=-x+b與軌跡E，消去y并整理，得2x²-（4+2b）x+1+b²=0，
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
利用根與系數(shù)的關系，可得x₁x₂=$\frac{1+^{2}}{2}$，x₁+x₂=2+b；…（6分）
因為以AB為直徑的圓恒經(jīng)過點N（1，0），即有NA⊥NB，
所以$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=2x₁x₂-（1+b）（x₁+x₂）+1+b²=1+b²-（1+b）（2+b）+1+b²=0，…（8分）
解得b=0或b=3；…（9分）
當b=0時，直線l過原點，不合題意，舍去，
故b=3，直線l的方程為y=-x+3…（10分）
圓心（2，0）到l的距離d=$\frac{|-2+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由垂徑定理，|AB|=2$\sqrt{3-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{10}$．…（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．