Question

已知O為平面直角坐標系的原點，過點M（-2，0）的直線l與圓x²+y²=1交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=-

1

2

．
（Ⅰ）求∠PDQ的大小；
（Ⅱ）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點P、Q在圓上可知|

OP

|=|

OQ

|=1，由

OP

•

OQ

=-

1

2

利用向量數(shù)量積運算可得cos∠POQ，由此可得答案；
（Ⅱ）易知直線存在斜率，設(shè)直線l：y=k（x+2）．由（Ⅰ）知點O到直線l的距離為

1

2

，根據(jù)點到直線的距離公式可得關(guān)于k的方程，解出k代入直線方程即可；

解答：解：（Ⅰ）因為P、Q兩點在圓x²+y²=1上，所以|

OP

|=|

OQ

|=1，
因為

OP

•

OQ

=-

1

2

，所以

OP

•

OQ

=|

OP

||

OQ

|•cos∠POQ=-

1

2

．
所以∠POQ=120°． 
（Ⅱ）依題意，直線l的斜率存在，
因為直線l過點M（-2，0），可設(shè)直線l：y=k（x+2）．
由（Ⅰ）可知O到直線l的距離等于

1

2

．
所以

|2k|

k2+1

=

1

2

，解得k=±

15

15

，
所以直線l的方程為x-

15

y+2=0或x+

15

y+2=0．

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算、直線與圓相交的性質(zhì)，屬中檔題．