Question

若a＞2，則函數(shù)f（x）=x³-3ax+3在區(qū)間（0，2）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)
B．1個(gè)
C．2個(gè)
D．3個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)a＞2，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證f（0），f（2）的符號(hào)，結(jié)合圖象可知函數(shù)f（x）=x³-3ax+3 在（0，2）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³-3ax+3
∴f′（x）=3x²-3a=3（x²-a）=3（x+）（x-），
∵a＞2，
令f′（x）＞0得x＞，得函數(shù)f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，
令f′（x）＜0可得0＜x＜，得函數(shù)f（x）在（0，）上是減函數(shù)，
而f（0）=3＞0，f（）=（）³-3a+3=3-2a＜0，
∴函數(shù)f（x）=x³-3ax+3在（0，）上零點(diǎn)有一個(gè)．
又f（2）=2³-3a×2+3=11-6a＜0，
∴函數(shù)f（x）=x³-3ax+3在（，2）上沒有零點(diǎn)．
則函數(shù)f（x）=x³-3ax+3在區(qū)間（0，2）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題是基礎(chǔ)題．考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．