Question

已知橢圓的兩個焦點，且橢圓短軸的兩個端點與F₂構成正三角形．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點（1，0）且與坐標軸不平行的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，若在x軸上存在定點E（m，0），使恒為定值，求m的值．

Answer 1

解：（I）由題意可得 c=，tan30°==，∴b=1，∴a=2，
故橢圓的方程為 ．
（Ⅱ） 設直線l的方程為 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．
代入橢圓的方程化簡可得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=．
∵=（m-x₁，-y₁ ）•（m-x₂，-y₂）=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂
=（m²+k²）+（1+k²）x₁•x₂-（m+k²）（x₁+x₂）
=（m²+k²）+（1+k²）-（m+k²）（）
= 恒為定值，
∴，
∴m=．
分析：（I） 由題意得到 c=，tan30°==，可得b、a值，即得橢圓的方程．
（Ⅱ）用點斜式設出直線l的方程，代入橢圓的方程化簡，得到根與系數(shù)的關系，代入 的解析式化簡得
恒為定值，故有 ，從而解出m值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，一元二次方程根與系數(shù)的關系，由
恒為定值，得到，是解題的關鍵和難點．