Question

已知矩陣M=

2 a b c

，其中a，b，c∈R，若點(diǎn)P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點(diǎn)Q（-4，0），且屬于特征值-1的一個特征向量是

1 -1

，求a，b，c之值．

Answer 1

分析：利用矩陣M的變換即可得出：

2 a b c

 

1 -2

=

-4 0

，解出關(guān)于a，b，c的方程；再利用特征值與特征向量的關(guān)系即可解出另外一個方程，聯(lián)立即可求出．

解答：解：∵點(diǎn)P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點(diǎn)Q（-4，0），∴

2 a b c

 

1 -2

=

-4 0

，∴

2-2a=-4 b-2c=0

，解得

a=3 b=2c

；
又∵屬于特征值-1的一個特征向量是

1 -1

，∴

2+1 a b c+1

 

1 -1

=

0 0

，∴

3-a=0 b-(c+1)=0

，解得

a=3 b-c=1

；
聯(lián)立

b=2c b-c=1

解得

b=2 c=1

．
綜上可知：a=3，b=2，c=1．

點(diǎn)評：正確理解矩陣M的變換、特征值與特征向量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．