Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB是圓0的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD．
（1）求證：直線CE與圓0的相切；
（2）求證：AC²=AB•AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，利用△OAC為等腰三角形，結(jié)合同角的余角相等，我們易結(jié)合AD⊥CE，得到OC⊥DE，根據(jù)切線的判定定理，我們易得到結(jié)論；
（2）連接BC，我們易證明△ABC∽△ACD，然后相似三角形性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)邊成比例，易得到結(jié)論．
解答：證明：（1）連接OC，如下圖所示：
因?yàn)镺A=OC，
所以∠OCA=∠OAC
又因?yàn)锳D⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因?yàn)锳C平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切線
（2）連接BC，
因?yàn)锳B是⊙O的直徑，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因?yàn)镃E是⊙O的切線，
所以∠B=∠ACD，
所以△ABC∽△ACD，
所以=，
即AC²=AB•AD．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是圓的切線的判定定理，判斷切線有兩種思路，一是過圓上一點(diǎn)，證明直線與過該點(diǎn)的直徑垂直；一是過圓心作直線的垂線，證明垂足在圓上．