(2012•汕頭二模)已知函數(shù)f(x)=2cos2
x
2
-
3
sinx

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若a為第二象限角,且f(a-
π
3
)=
1
3
,求
cos2a
1-tana
的值.
分析:(Ⅰ)利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù),從而可求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)利用f(a-
π
3
)=
1
3
,求得cosα的值,利用α為第二象限角,可求sinα的值,進(jìn)而可得
cos2a
1-tana
的值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=2cos2
x
2
-
3
sinx
=1+cosx-
3
sinx
=1+2cos(x+
π
3

∴函數(shù)f(x)的周期為2π,
∵2cos(x+
π
3
)∈[-2,2],∴函數(shù)的值域為[-1,3].                      …(5分)
(Ⅱ)因為f(a-
π
3
)=
1
3
,所以1+2cosα=
1
3
,即cosα=-
1
3
.                            …(6分)
因為α為第二象限角,所以sinα=
2
2
3
.      
所以
cos2a
1-tana
=cosα(cosα+sinα)=-
1
3
×(-
1
3
+
2
2
3
)=
1-2
2
9
                     …(13分)
點評:本題考查三角函數(shù)的化簡,考查函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)值的計算,解題的關(guān)鍵是化簡函數(shù).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭二模)已知函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常數(shù)a>0.
(1)當(dāng)a>2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a=4時,若函數(shù)y=f(x)-m有三個不同的零點,求m的取值范圍;
(3)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點p(x0,h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),當(dāng)x≠x0時,若
h(x)-g(x)x-x0
>0
在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對稱點”,請你探究當(dāng)a=4時,函數(shù)y=f(x)是否存在“類對稱點”,若存在,請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭二模)在數(shù)列{an}中,a1=1、a2=
1
4
,且an+1=
(n-1)an
n-an
(n≥2)

(Ⅰ) 求a3、a4,猜想an的表達(dá)式,并加以證明;
(Ⅱ) 設(shè)bn=
anan+1
an
+
an+1
,求證:對任意的自然數(shù)n∈N*,都有b1+b2+…+bn
n
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭二模)從1,2,3,4,5中不放回地依次取2個數(shù),事件A=“第一次取到的是奇數(shù)”,B=“第二次取到的是奇數(shù)”,則P(B|A)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭二模)雙曲線x2-
y24
=1的漸近線方程是
y=±2x
y=±2x

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