Question

已知：

a

、

b

、

c

是同一平面內(nèi)的三個向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐標(biāo)；
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，求

a

與

b

的夾角θ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

c

=(x，y)，由|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，知

y-2x=0 x2+y2=20

，由此能求出

c

的坐標(biāo)．
（2）由(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，知(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，整理得

a

•

b

=-

5

2

，故cosθ=

a • b

| a | •| b |

=-1，由此能求出

a

與

b

的夾角θ．

解答：解：（1）設(shè)

c

=(x，y)，
∵|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，
∴

y-2x=0 x2+y2=20

，…（3分）
解得

x=2 y=4

 或

x=-2 y=-4

，…（5分）
故

c

=(2，4) 或

c

=(-2，-4)．…（6分）
（2）∵(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，
∴(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，
 即2

a

2+3

a

•

b

-2

b

 2=0，…（8分）
∴2×5-3

a

•

b

-2×

5

4

=0，
整理得

a

•

b

=-

5

2

，…（10分）
∴cosθ=

a • b

| a | •| b |

=-1，…（12分）
又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積判斷兩個平面垂直的條件的靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．