定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件:f(x)不是常值函數(shù),且f(2-x)=f(x)與f(x-1)=f(x+1)對任意x∈R成立,給出下列四個命題:
①f(x)為周期函數(shù);②f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;③f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;④f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱.其中所有正確命題的序號是________.
①②③
分析:在f(x)=f(2-x)中,令x=t+2:f(t+2)=f(-t),所以f(x+2)=f(-x),在f(x-1)=f(x+1)中,令x=t+1:f(t)=f(t+2),所以f(x)=f(x+2),故函數(shù)是周期為2的周期函數(shù),f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,f(x)是偶函數(shù);由f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,知f(x)的圖象不能關(guān)于原點成中心對稱.
解答:在f(x)=f(2-x)中,令x=t+2:f(t+2)=f(-t),所以f(x+2)=f(-x)
在f(x-1)=f(x+1)中,令x=t+1:f(t)=f(t+2),所以f(x)=f(x+2),
∴函數(shù)是周期為2的周期函數(shù),f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,故①和②正確;
由f(x+2)=f(-x)和f(x)=f(x+2),知:f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),故③正確;
∵f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,
∴f(x)的圖象不能關(guān)于原點成中心對稱,故④不正確.
故答案為:①②③.
點評:本題考查命題的真假判斷,是基礎(chǔ)題.解題時要認(rèn)真審題,仔細解答,注意函數(shù)的周期性和對稱性的靈活運用.