Question

做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為

3

．

Answer 1

分析：設(shè)圓柱的高為h，半徑為r則由圓柱的體積公式可得，πr²h=27π，即h=

27

r2

，要使用料最省即求全面積的最小值，而S_全面積=πr²+2πrh=πr2+2πr•

27

r2

=πr2+

54π

r

（法一）令S=f（r），結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)f（r）的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)取得最小值時的半徑
（法二）：S_全面積=πr²+2πrh=πr2+2πr•

27

r2

=πr2+

54π

r

，利用基本不等式可求用料最小時的r

解答：解：設(shè)圓柱的高為h，半徑為r
則由圓柱的體積公式可得，πr²h=27π
h=

27

r2

S_全面積=πr²+2πrh=πr2+2πr•

27

r2

=πr2+

54π

r

（法一）令S=f（r），（r＞0）
f′(r)=2πr-

54π

r2

=

2π(r3-27)

r3

令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）單調(diào)遞減，在[3，+∞）單調(diào)遞增，則f（r）在r=3時取得最小值
（法二）：S_全面積=πr²+2πrh=πr2+2πr•

27

r2

=πr2+

54π

r

=πr2+

27π

r

+

27π

r

≥3

3	πr2• 27π r • 27π r

=27π
當(dāng)且僅當(dāng)πr2=

27π

r

即r=3時取等號
當(dāng)半徑為3時，S最小即用料最省
故答案為：3

點評：本題主要考查了圓柱的體積公式及表面積的最值的求解，解答應(yīng)用試題的關(guān)鍵是要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)已學(xué)知識進(jìn)行解決．