已知函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，記f(x)=
ax
ax+2
．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）+f（1-x）=1；
（3）求f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+…+f(
2010
2011
)的值．
分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，所以最大值和最小值一定取到端點(diǎn)處，列方程即可解得a值；（2）利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，代入函數(shù)解析式即可化簡(jiǎn)證明；（3）注意到和式中的自變量的特點(diǎn)，利用（2）的結(jié)論，將所求分組求和即可
解答：解：（1）函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，
而函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減
∴a+a2=20，得a=4，或a=-5（舍去）
∴a=4
（2）證明：f(x)=
4x
4x+2

∴f(x)+f(1-x)=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2

=
4x
4x+2
+
4
4x
4
4x
+2
=
4x
4x+2
+
4
2×4x+4

=
4x
4x+2
+
2
4x+2
=1
（3）由（2）知，f(
1
2011
)+f(
2010
2011
)=1，f(
2
2011
)+f(
2009
2011
)=1，…f(
1005
2011
)+f(
1006
2011
)=1
∴f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+…+f(
2010
2011
)
=[f(
1
2011
)+f(
2010
2011
)]+[f(
2
2011
)+f(
2009
2011
)]+…+[f(
1005
2011
)+f(
1006
2011
)]
=1+1+1+…+1=1005
點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，倒序相加的求和思想
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）和y=lg（ax2-x+a）．則p：關(guān)于x的不等式ax＞1的解集是（-∞，0）；q：函數(shù)y=lg（ax2-x+a）的定義域?yàn)镽．如果p和q有且只有一個(gè)正確，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，記f（x）=
ax
ax+2
．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）+f（1-x）=1；
（3）求f（
1
2013
）+f（
2
2013
）+f（
3
2013
）+…+f（
2010
2013
）+f（
2011
2013
）+f（
2012
2013
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=
ax+1
(a＜0)在區(qū)間（-∞，1]恒有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
[-1，0）
[-1，0）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[-2，2]上的函數(shù)值恒小于2，則a的取值范圍是
{a|1＜a＜
2
或
2
＜a＜1}
{a|1＜a＜
2
或
2
＜a＜1}
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=ax（a＞1）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值之差為2，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�
A、
2
B、2
C、3
D、4

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