Question

如圖，圓與坐標(biāo)軸交于點(diǎn).

⑴求與直線垂直的圓的切線方程；

⑵設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），直線交軸于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，

①若點(diǎn)坐標(biāo)為，求弦的長(zhǎng)；②求證：為定值.

 

 

Answer 1

（1），（2）①：2，②：證明略.

【解析】

試題分析：（1）所求直線與垂直，則斜率為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，因此可依方程設(shè)出所求直線方程，利用圓心到此直線的距離為半徑可求出此直線方程；（2）①為常考點(diǎn)，利用弦心距，半徑，弦長(zhǎng)的一半三者構(gòu)成勾股定理的關(guān)系求解；②設(shè)直線的方程為：，把轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算，也可設(shè)，把轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算.

試題解析：，直線，⑴設(shè)所求切線方程為：，則，所以：；

⑵①：，圓心到直線的距離，所以弦的長(zhǎng)為；（或由等邊三角形亦可）.

②解法一：設(shè)直線的方程為：存在，，則

由，得，所以或，將代入直線，得，即，則，：，，，得，所以為定值．

解法二：設(shè)，則，直線，則，，直線，又，與交點(diǎn)，，將，代入得，所以，得為定值.

考點(diǎn)：點(diǎn)到線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式，斜截式方程，直線與圓相交問題，化歸與轉(zhuǎn)化思想