已知雙曲線
x2
4
-y2=1的虛軸的上端點為B，過點B引直線l與雙曲線的左支有兩個不同的公共點，則直線l的斜率的取值范圍是
（
1
2
，
2
2
）
（
1
2
，
2
2
）
．
分析：雙曲線
x2
4
-y2=1的虛軸的上端點為B（0，1），由過點B引直線l與雙曲線的左支有兩個不同的公共點，知直線l的斜率k一定存在，且k＞0，設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，由
y=kx+1
x2
4
-y2=1
，得(
1
4
-k2)x2-2kx-2=0，設(shè)直線l與雙曲線的左支交于A（x1，y1），B（x2，y2），由△＞0，x1+x2＜0，x1•x2＞0，能求出直線l的斜率的取值范圍．
解答：解：雙曲線
x2
4
-y2=1的虛軸的上端點為B（0，1），
∵過點B引直線l與雙曲線的左支有兩個不同的公共點，
∴直線l的斜率k一定存在，且k＞0，
設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，
由
y=kx+1
x2
4
-y2=1
，得(
1
4
-k2)x2-2kx-2=0，
設(shè)直線l與雙曲線的左支交于A（x1，y1），B（x2，y2），
則有
△=(-2k)2+8(
1
4
-k2)＞0
x1+x2=
2k
1
4
-k2
＜0
x1•x2 =
-2
1
4
-k2
＞0
，
解得
1
2
＜k＜
2
2
．
故答案為：（
1
2
，
2
2
）．
點評：本題考查直線和雙曲線的關(guān)系的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個結(jié)論：
①當a為任意實數(shù)時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是x2=
4
3
y；
②已知雙曲線的右焦點為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標準方程是
x2
5
-
y2
20
=1；
③拋物線y=ax2(a≠0)的準線方程為y=-
1
4a
；
④已知雙曲線
x2
4
+
y2
m
=1，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）．
其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
4
-
y2
a
=1的實軸為A1A2，虛軸為B1B2，將坐標系的右半平面沿y軸折起，使雙曲線的右焦點F2折至點F，若點F在平面A1B1B2內(nèi)的射影恰好是該雙曲線的左頂點A1，且直線B1F與平面A1B1B2所成角的正切值為
5
5
，則a=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•佛山一模）已知雙曲線
x2
4
-y2=1，則其漸近線方程為
y=±
1
2
x
y=±
1
2
x
，離心率為
5
2
5
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•焦作一模）已知雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的離心率為e，焦點為F的拋物線y2=2px與直線y=k（x-
p
2
）交于A、B兩點，且
|AF|
|FB|
=e，則k的值為
+
.
2
2
+
.
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個結(jié)論：
①若α、β為銳角，tan（α+β）=-3，tanβ=
1
2
，則α+2β=
3π
4
；
②在△ABC中，若
AB
•
BC
＞0，則△ABC一定是鈍角三角形；
③已知雙曲線
x2
4
+
y2
m
=1，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）；
④當a為任意實數(shù)時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則焦點在y軸上且過點P的拋物線的標準方程是x2=
4
3
y．其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

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