如圖,在三棱錐中,底面,點(diǎn),分別在棱上,且      (Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)當(dāng)的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角?并說明理由.
解:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.………
(Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn),DE//BC,
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP為等腰直角三角形,∴,
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
與平面所成角的正弦值為.………
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP為二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.      
∴在棱PC上存在一點(diǎn)E,使得AE⊥PC,這時(shí)
故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角. ………
【解法2】如圖,以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),由已知可得 .
(Ⅰ)∵,     
,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.………
(Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn),DE//BC,∴E為PC的中點(diǎn),
,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
,
.
與平面所成的角的大小.……
(Ⅲ)同解法1.………
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)如圖,已平面,平面,△為等邊三角形,,的中點(diǎn).
(1) 求證:平面;
(2) 求證:平面平面;
(3) 求直線和平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)m、n是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:
①若,,則   ②若,,則
③若,則  ④若,,則
其中正確命題的序號(hào)是 (     )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,
AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證:AM∥平面BDE;
(Ⅱ) 求二面角A-DF-B的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

.如圖:四邊形為正方形,為矩形,平面,的中點(diǎn)(Ⅰ)求證平面;(Ⅱ)求證平面平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦植。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知平面與平面相交,直線,則(  )
A.內(nèi)必存在直線與平行,且存在直線與垂直
B.內(nèi)不一定存在直線與平行,不一定存在直線與垂直
C.內(nèi)不一定存在直線與平行,但必存在直線與垂直
D.內(nèi)必存在直線與平行,不一定存在直線與垂直

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

 已知是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,給出下列命題:
①若;   、谌;
③如果相交;
④若其中正確的命題是 (     )
A.①④B.②③C.③④D.①②

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知下列命題(其中為直線,為平面):
① 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線,則這條直線與這個(gè)平面垂直;
② 若一條直線平行于一個(gè)平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面;
③ 若,,則;
④ 若,則過有且只有一個(gè)平面與垂直.
上述四個(gè)命題中,真命題是( ※  )
A.①,②B.②,③C.②,④D.③,④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

一個(gè)空間幾何體得三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為
    
A.48B.32+8C.48+8D.80

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同步練習(xí)冊(cè)答案