Question

（1）a、b為非負數(shù)，a+b=1，x₁，x₂∈R⁺，求證：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥x₁x₂；
（2）已知實數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5試求a的最值．

Answer 1

分析：（1）將y₁、y₂代入乘積y₁y₂展開，化簡出x₁x₂的表達式，判斷其大小，即可．
（2）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(

1

2

+

1

3

+

1

6

)≥(b+c+d)2；結合條件可得，5-a²≥（3-a）²；從而求得a的最值．

解答：解：（1）∵

(ax1+bx2)(bx1+ax2)

=(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥(a x1x2 +b x1x2 )2=(a+b)2x1x2=x1x2

（∵a+b=1）．
（2）解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(

1

2

+

1

3

+

1

6

)≥(b+c+d)2；
即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²
由條件可得，5-a²≥（3-a）²；
解得，1≤a≤2當且僅當

2 b

1 2

=

3 c

1 3

=

6 d

1 6

時等號成立，
代入b=1，c=

1

3

，d=

1

6

時，
a_max=2b=1，c=

2

3

，d=

1

3

時a_min=1．

點評：本小題主要考查柯西不等式、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．