Question

選修4-5：不等式選講
已知|x-4|+|3-x|＜a
（1）若不等式的解集為空集，求a的范圍
（2）若不等式有解，求a的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲使得不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集是空集，只須a小于等于函數(shù)|x-3|+|x-4|的最小值即可，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出此函數(shù)的最小值即可．
（2）若不等式有解，則 a的范圍為（1）中a的范圍的補(bǔ)集即可．
解答：解：（1）不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集為∅?|x-3|+|x-4|＜a的解集為∅．
又∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-（x-4）|=1，
∴|x-3|+|x-4|的最小值為1，
|x-3|+|x-4|＜a的解集為∅．
只須a小于等于|x-3|+|x-4|的最小值即可，
a≤1，
故a的范圍為：（-∞，1]．
（2）若不等式有解，則 a的范圍為（1）中a的范圍的補(bǔ)集．
即a的范圍為：a＞1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法、空集的含義及恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．