Question

3．橢圓上$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上的點(diǎn)P到直線x-y-10=0的距離最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)與直線x-y-10=0平行的直線方程為：x-y+c=0，與橢圓方程聯(lián)立，消元，令△=0，可得c的值，求出兩條平行線間的距離，即可求得橢圓上$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$一點(diǎn)P到直線x-y-10=0的距離最小值．

解答 解：設(shè)與直線x-y-10=0平行的直線方程為：x-y+c=0，與橢圓方程聯(lián)立，消元可得25x²+32cx+16c²-144=0
令△=1024c²-100（16c²-144）=0，可得c=±15
∴兩條平行線間的距離為$\frac{|±15-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$\frac{25\sqrt{2}}{2}$，
∴橢圓上$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上的點(diǎn)P到直線x-y-10=0的距離最小值是：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出與直線x-y-10=0平行，且與橢圓相切的直線方程．