Question

（本題滿分15分）已知函數(shù).

（Ⅰ)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間;

（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)有唯一的極值，且極值大于？若存在，,求的取值

范圍；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）如果對，總有，則稱是的凸

函數(shù)，如果對，總有，則稱是的凹函數(shù).當時，利用定義分析的凹凸性，并加以證明。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）遞增，遞減   ；

（Ⅱ）；（Ⅲ）上為凸函數(shù).上為凹函數(shù).

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的 運用，求解函數(shù)的單調性，和函數(shù)的極值問題，以及函數(shù)的凸凹性的研究的綜合運用。

（1）利用定義域和導數(shù)來求解函數(shù)的單調區(qū)間的問題。

（2）因為

顯然才有唯一的極值點，利用這一點得到a的不等式，從而求解范圍。

（3）根據(jù)新的凸函數(shù)與凹函數(shù)的定義，借助于導數(shù)的思想來判定結論。

解：（Ⅰ）當時，              ………………2分

       遞增，遞減                              ………………4分

（Ⅱ）

顯然才有唯一的極值點，它滿足

                                      ………………6分

消去，得，  方程的正跟比1大

                                                ………………8分

故                                              ………………9分

（Ⅲ）在處取得最小值

故上為凸函數(shù)，上為凹函數(shù)           ………………11分

下證上為凸函數(shù)：

不妨設

令  ……13分

故在上遞減，

即上為凸函數(shù).

同理上為凹函數(shù).                           ………………15分