已知數(shù)列{a
n}的前n項和為S
n，a
1=2，S
n=n
2+n．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（2）設(shè){
}的前n項和為T
n，求證T
n＜1．
【答案】
分析：（1）利用公式a
n=S
n-S
n-1（n≥2），得當(dāng)n≥2時a
n=2n，再驗證n=1時，a
1=2×1=2也適合，即可得到數(shù)列{a
n}的通項公式．
（2）裂項得
=
-
，由此可得前n項和為T
n=1-
＜1，再結(jié)合
∈（0，1），不難得到T
n＜1對于一切正整數(shù)n均成立．
解答：解：（1）當(dāng)n≥2時，a
n=S
n-S
n-1=n
2+n-[（n-1）
2+（n-1）]=2n．
∵n=1時，a
1=2×1=2，也適合
∴數(shù)列{a
n}的通項公式是a
n=2n．
（2）
=
=
-
∴{
}的前n項和為T
n=（1-
）+（
-
）+（
-
）+…+（
-
）=1-
=
∵0＜
＜1
∴1-
∈（0，1），即T
n＜1對于一切正整數(shù)n均成立．
點評：本題給出等差數(shù)列模型，求數(shù)列的通項并求前n項和對應(yīng)數(shù)列的倒數(shù)和，著重考查了等差數(shù)列的通項與前n項和、數(shù)列與不等式的綜合等知識，屬于中檔題．
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