Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且對任意n∈N^*時，點（a_n，S_n）都在函數(shù)f（x）=-

1

2

x+

1

2

的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=lg（1-2S_n）+2，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用點在函數(shù)的圖象上，推出關(guān)系式，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出S_n，然后得到b_n=lg（1-2S_n）+2的表達(dá)式，判斷數(shù)列{b_n}是什么數(shù)列，即可求解前n項和T_n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因為點（a_n，S_n）都在函數(shù)f(x)=-

1

2

x+

1

2

的圖象上．
所以Sn=-

1

2

an+

1

2

，
當(dāng)n=1時，S1+

1

2

a1=

1

2

，∵S1=a1∴a1=

1

3

，
當(dāng)n≥2時，Sn-1=-

1

2

an-1+

1

2

，
所以an=Sn-Sn-1=-

1

2

an+

1

2

+

1

2

an-1-

1

2

=-

1

2

an+

1

2

an-1，
∴an=

1

3

an-1，∴{a_n}是公比為

1

3

，首項為

1

3

的等比數(shù)列，
∴an=(

1

3

)n；

（Ⅱ） 因為{a_n}是公比為

1

3

，首項為

1

3

的等比數(shù)列，
所以Sn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)，
∴b_n=lg（1-2S_n）+2=-nlg3+2，
∵b_n+1-b_n=-lg3，
∴數(shù)列{b_n}是以-lg3+2為首項，公差為-lg3的等差數(shù)列，且單調(diào)遞減，
由

bn≥0 bn+1＜0

，
所以

-nlg3+2≥0 -(n+1)lg3+2＜0

，即

2

lg3

-1＜n≤

2

lg3

，
因為

2

lg3

=log3100＜log335=5，

2

lg3

-1=log3

100

3

＞log333=3，
∴n=4，
數(shù)列{b_n}的前n項和的最大值為T4=

1

2

(-lg3+2-4lg3+2)×4=8-10lg3．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)的特征，等差數(shù)列以及等比數(shù)列的判斷，是中檔題．