Question

AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于C，若DA=DC，求證：AB=2BC．

Answer 1

【答案】分析：證法一、可以連接OD，構(gòu)造直角三角形，然后求出∠DCO，然后根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出結(jié)論；
證法二、連接OD，DB，再證明△ADB≌△CDO，得到AB=OC，轉(zhuǎn)化為證明CO=2BC
解答：證明：法一：連接OD，則：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，
所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以O(shè)C=2OD，
即OB=BC=OD=OA，
所以AB=2BC．
證法二：連接OD、BD．
因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB=90°，
AB=2OB．
因?yàn)镈C是圓O的切線，所以∠CDO=90°．
又因?yàn)镈A=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO．
即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)，即切線垂直過(guò)切點(diǎn)的半徑，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，解直角三角形即可得到答案．