Question

已知拋物線y=x²，直線y=kx+2，直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積記為S（k）．
（1）當(dāng)k=1時，求出此時S（k）對應(yīng)的值；
（2）寫出S（k）的表達(dá)式，并求出對應(yīng)的最大和最小值．

Answer 1

解：（1）將y=x+2代入y=x²，得x=-1或x=2
∴S（1）=∫_-1²（x+2-x²）dx=（+2x-）|_-1²=（2+4-）-（-2+）=
∴S（1）=
（2）將y=kx+2代入y=x²，得x₁=或x₂=，
∴x₁-x₂=-，x₁+x₂=k，x₁x₂=-2
∴S（k）==（+2x-）=（+2x₁-x₁³）-（+2x₂-x₂³）=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）+2-]=-（+2-）=
設(shè)t=，則t，則y==
∴S（k）=，此函數(shù)的最小值為，無最大值
分析：（1）先將兩曲線聯(lián)立，求得交點橫坐標(biāo)，用來確定積分區(qū)間，再根據(jù)定積分的幾何意義，將所求面積轉(zhuǎn)化為求定積分問題，最后由微積分基本定理計算結(jié)果即可
（2）先將兩曲線聯(lián)立，得曲線交點的橫坐標(biāo)x₁、x₂，從而得x₁-x₂，x₁+x₂，x₁x₂的值（用k表示），再根據(jù)定積分的幾何意義，將所求面積轉(zhuǎn)化為求定積分問題，最后由微積分基本定理計算，將結(jié)果用x₁-x₂，x₁+x₂，x₁x₂表示，代入即可得函數(shù)S（k）的表達(dá)式，最后利用換元法求函數(shù)的值域即可
點評：本題綜合考查了定積分的幾何意義，利用微積分基本定理求定積分的方法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用