Question

如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且EA=2FD．
（1）求證：CB⊥平面ABE；
（2）連接AC，BD交于點O，取EC中點G．證明：FG∥平面ABCD．

Answer 1

分析：（1）根據EA⊥底面ABCD，證出EA⊥BC，結合正方形ABCD中AB⊥BC，利用線面垂直判定定理可得CB⊥平面ABE．（2）連結OG，由三角形的中位線定理結合已知條件FD∥EA且EA=2FD，證出平面四邊形DOGF為平行四邊形，從而得出FG∥OD，利用線面平行的判定定理可證出FG∥平面ABCD．

解答：解：（1）∵EA⊥底面ABCD，且BC?面ABCD，
∴EA⊥BC．----------------------（2分）
∵正方形ABCD中，AB⊥BC，EA∩AB=A，--------（3分）
∴CB⊥平面ABE．-------------------------（5分）
（2）連結OG．
∵OG是△AEC的中位線∴OG∥AE，且AE=2OG------（7分）
∵由已知EA=2FD，
∴OG∥DF且OG=DF，------------------（9分）
可得平面四邊形DOGF為平行四邊形，----------------（10分）
∴FG∥OD，
又∵FG?ABCD，OD?ABCD，---------------------（11分）
∴FG∥面ABCD．-------------------------------（12分）

點評：本題在特殊多面體中證明線面垂直和線面平行．著重考查了線面垂直的判定與性質、線面平行的判定定理等知識，屬于中檔題．