(2012•許昌三模)如圖,在Rt△ABC中,D是斜邊AB上一點,且AC=AD,記∠BCD=β,∠ABC=α.
(Ⅰ)求sinα+2sin2β的值; 
(Ⅱ)若BC=
3
CD,求∠CAB的大。
分析:(Ⅰ)由直角三角形的兩銳角互余及外角性質(zhì)用α,β表示出∠A和∠ACD,再由AC=AD,利用等邊對等角得到一對角相等,進(jìn)而得出α與β的關(guān)系式,用β表示出α,代入所求式子中,利用誘導(dǎo)公式變形,計算后即可得到值;
(Ⅱ)由BC=
3
CD,利用正弦定理列出關(guān)系式,利用誘導(dǎo)公式變形后,將第一問得出的α+β=
π
2
-β,α=
π
2
-2β代入,利用誘導(dǎo)公式化簡,再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于cosβ的方程,求出方程的解得到cosβ的值,由α和β都為直角三角形的銳角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出β的度數(shù),即可得到∠CAB的度數(shù).
解答:解:(Ⅰ)由題意知:∠A=
π
2
-α,∠ACD=
π
2
-β,
又AC=AD,
∴∠ADC=∠ACD,
∴α+β=
π
2
-β,即α=
π
2
-2β,
則sinα+2sin2β=sin(
π
2
-2β)+1-cos2β=cos2β+1-cos2β=1;
(Ⅱ)由BC=
3
CD及正弦定理知:
BC
CD
=
sin∠BDC
sinα
=
3
,
∴sin∠BDC=sin[π-(α+β)]=sin(α+β)=
3
sinα,
由(Ⅰ)知α+2β=
π
2
,即α+β=
π
2
-β,α=
π
2
-2β,
∴sin(
π
2
-β)=
3
sin(
π
2
-2β),即cosβ=
3
cos2β=
3
(2cos2β-1),
整理得:2
3
cos2β-cosβ-
3
=0,
解得:cosβ=
3
2
或cosβ=-
3
3
(舍去),
∵α,β∈(0,
π
2
),
∴β=
π
6

則∠CAB=
π
3
點評:此題考查了正弦定理,誘導(dǎo)公式,二倍角的余弦函數(shù)公式,等腰三角形的性質(zhì),以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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(Ⅱ)若BC=
3
CD,求∠CAB的大。

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