Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且2a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）解不等式

n

i=1

3

ai

＞Sn（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，分別令n=1和n=2，能夠得到a₂，a₃的值，再由2a_n+1=S_n+2和2a_n=S_n-1+2兩式相減，得到2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1．由此能夠?qū)С鰗a_n}為等比數(shù)列，從而得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）

3

an

=3×(

2

3

)n-1，由n=1，2，3，4，5得到它的前5項(xiàng)為：3，2，

4

3

，

8

9

，

16

27

．{a_n}的前5項(xiàng)為：1，

3

2

，

9

4

，

27

8

，

81

16

，然后分別進(jìn)行討論，能夠求出不等式

n

i=1

3

ai

＞Sn（n∈N^*）的解集．

解答：解：（1）∵2a₂=S₁+2=a₁+2=3，∴a2=

3

2

．（1分）
∵2a3=S2+2=a1+a2+2=

9

2

，∴a3=

9

4

．（2分）
∵2a_n+1=S_n+2，∴2a_n=S_n-1+2（n≥2），
兩式相減，得2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1．∴2a_n+1-2a_n=a_n．則an+1=

3

2

an（n≥2）（4分）
∵a2=

3

2

a1，∴an+1=

3

2

an（n∈N^*）（5分）
∵a₁=1≠0，∴{a_n}為等比數(shù)列，an=(

3

2

)n-1．（6分）
（2）

3

an

=3×(

2

3

)n-1，
∴數(shù)列{

3

an

}是首項(xiàng)為3，公比為

2

3

等比數(shù)列．（7分）
數(shù)列{

3

an

}的前5項(xiàng)為：3，2，

4

3

，

8

9

，

16

27

．{a_n}的前5項(xiàng)為：1，

3

2

，

9

4

，

27

8

，

81

16

．
∴n=1，2，3時(shí)，

n

i=1

3

ai

＞Sn成立；（10分）
而n=4時(shí)，

n

i=1

3

ai

 ≤ Sn；（11分）
∵n≥5時(shí)，

3

an

＜1，a_n＞1，∴

n

i=1

3

ai

 ≤ Sn．（13分）
∴不等式

n

i=1

3

ai

＞Sn（n∈N^*）的解集為{1，2，3}．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列遞推式的合理運(yùn)用．