Question

如圖，三棱柱OAB—O₁A₁B₁，平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∠O₁OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO₁=2，OA=.求：

（1）二面角O₁—AB—O的大�。�

（2）異面直線A₁B與AO₁所成角的大小.

（上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）取OB的中點(diǎn)D，連結(jié)O1D， 則O1D⊥OB. ∵平面OBB1O1⊥平面OAB， ∴O1D⊥平面OAB. 過D作AB的垂線，垂足為E，連結(jié)O1E. 則O1E⊥AB. ∴∠DEO1為二面角O1—AB—O的平面角. 由題設(shè)得O1D=， sinOBA=， ∴DE=DBsinOBA= ∵在Rt△O1DE中，tanDEO1=， ∴∠DEO1=arctan，即二面角O1—AB—O的大小為arctan. （2）以O點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以OA、OB所在直線為x、y軸，過O點(diǎn)且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則 O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0）. 設(shè)異面直線A1B與AO1所成的角為α， 則， cosα=， ∴異面直線A1B與AO1所成角的大小為arccos.