Question

15．已知圓O：x²+y²=4與直線y=x交于點A，B，直線y=$\sqrt{3}$x+m（m＞0）與圓O相切于點P，則△PAB的面積為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}$+2
• D． $\sqrt{3}+$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由點到直線的距離求得m的值，將直線代入圓的方程，求得切點P，利用點到直線的距離公式求得P到直線y=x的距離d，則△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d．

解答 解：由直線y=x過圓心O，則丨AB丨=4，由y=$\sqrt{3}$x+m與圓相切，則$\frac{丨m丨}{2}$=2，
則m=±4，由m＞0，則m=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$，則P（-$\sqrt{3}$，1），
則點P到直線y=x的距離d=$\frac{丨-\sqrt{3}-1丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
故選B．

點評 本題考查圓的性質(zhì)，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．