Question

已知橢圓C₁與橢圓

x2

5

+

y2

2

=1有相同的焦點，且過點(1，

3

2

)．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓C₁上一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓C₁的左、右焦點，PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）由于橢圓C₁與橢圓

x2

5

+

y2

2

=1有相同的焦點，于是可設(shè)方程為

x2

m+3

+

y2

m

=1(m＞0)，把點(1，

3

2

)代入即可解得m．
（2）利用勾股定理和橢圓的定義即可得出．

解答：解：（1）∵橢圓C₁與橢圓

x2

5

+

y2

2

=1有相同的焦點，
∴可設(shè)方程為

x2

m+3

+

y2

m

=1(m＞0)，
把點(1，

3

2

)代入可得

1

m+3

+

3

4m

=1，解得m=1．
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（2）由橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1可得c=

a2-b2

=

3

；
∵|PF1|2+|PF2|2=(2

3

)2=12，|PF₁|+|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=2，
∴S△PF1F2=

1

2

|PF1| |PF2|=

1

2

×2=1．

點評：本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．