Question

設函數(shù)f(x)＝xⁿ（n≥2，n∈N^*）

　　 （1）若F_n(x)＝f(x－a)＋f(b－x)（0＜a＜x＜b），求F_n(x)的取值范圍；

　　 （2）若F_n(x)＝f(x－b)－f(x－a)，對任意n≥a (2≥a＞b＞0)，

證明：F(n)≥n(a－b)(n－b)^n-2。

　

Answer 1

（1）∵F_n(x)＝f (x－a)＋f(b－x)＝(x－a)ⁿ＋(b－x)ⁿ

F(x)＝n(x－a)^n-1＋n(b－x)^n-1·(－1)＝n［(x－a)^n-1－(b－x)^n-1］

令F(x)＝0得(x－a)^n-1＝(b－x)^n-1

∵0＜a＜x＜b　　∴f (x)＝xⁿ(n≥2，n∈N⁺)為單調增函數(shù)

∴x＝

x	(a，)		(，b)
F(x)	－	0	＋
F(x)	單調減	極小值	單調增

∴F_n(x)_min＝F_n()＝()ⁿ＋()ⁿ＝

又F_n(x)在x＝a，x＝b處連續(xù)且F_n(a)＝F_n(b)＝（b－a）ⁿ

故≤F_n(x)＜（b－a）ⁿ

即F_n(x)的取值范圍為［，（b－a）ⁿ）………………………………7分

（2）證明：∵F_n(x)＝f(x－b)－f(x－a)＝(x－b)ⁿ－(x－a)ⁿ

∴F(x)＝n［(x－b)^n-1－(x－a)^n-1］

則F(n)＝n［(n－b)^n-1－(n－a)^n-1］

∵當x≥a＞0時F(x)＞0

∴當x≥a＞0時F_n(x)是關于x的增函數(shù)

∴當n≥a時，（n＋1－b）ⁿ－（n＋1－a）ⁿ＞(n－b)ⁿ－(n－a)ⁿ＞0

∴F（n＋1）＝（n＋1）［（n＋1－b）ⁿ－（n＋1－a）ⁿ］＞（n＋1）［(n－b)ⁿ－(n－a)ⁿ］

＞（n＋1）［(n－b) (n－b)^n-1－(n－b) (n－a)^n-1］

＝（n＋1）(n－b)［(n－b)^n-1－(n－a)^n-1］

＝(n－b)·F(n)

而F(n)＞0

于是＞·（n－b）

而F(2)＝2［(2－b)^2-1－(2－a)^2－1］＝2(a－b)

當n≥3時

F(n)＝·…·F(2)

＞·…·2(a－b) ·(n－b)^n-2

＝n(a－b)(n－b)^n-2

即F(n) ≥n(a－b)(n－b)^n-2…………………………………………………14分