Question

關(guān)于x的方程x²-mx+m+1=0（k∈R）的兩實根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），sinθ+cosθ求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1+ 1 tanθ

+

cosθ

1+tanθ

的值；
（3）方程的兩實根及此時θ的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用韋達定理可求得m²-2m-3=0，解得m=-1或m=3（舍去），從而可得m的值；
（2）由（1）知m=-1，將所求的關(guān)系式化簡為

1

m

，將m=-1代入即可求得答案；
（3）由m=-1，知sinθ+cosθ=-1，sinθ•cosθ=-1+1=0，而θ∈（0，2π），從而可得方程的兩實根及此時θ的值．

解答： 解：（1）∵為sinθ和cosθ為方程x²-mx+m+1=0（k∈R）的兩實根，
∴sinθ+cosθ=m，sinθ•cosθ=m+1，
∵（sinθ+cosθ）²=sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1+2sinθcosθ，
∴m²=1+2（m+1），即m²-2m-3=0，
解得：m=-1或m=3（舍去），
∴m=-1．
（2）由（1）知m=-1，
∴原式=

sinθ

1+ cosθ sinθ

+

cosθ

1+ sinθ cosθ

=

sin2θ+cos2θ

sinθ+cosθ

=

1

sinθ+cosθ

=

1

m

=-1；
（3）∵sinθ+cosθ=-1，sinθ•cosθ=-1+1=0，
∴sinθ=0，cosθ=-1或cosθ=0，sinθ=-1，
又θ∈（0，2π），
∴θ=π或θ=

3π

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查根與系數(shù)的關(guān)系，著重考查韋達定理的應(yīng)用與正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．