Question

已知數(shù)列{a_n+1}滿足a_n+1=2a_n-1且n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n； （2）求S_n；
（3）設(shè)f（x）=（x-2ⁿ+1）ln（x-2ⁿ+1）-x（n∈N^*），求證：f（x）≥

3Sn+2

6Sn-2

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2由此能求出a_n．
（2）由a_n=2ⁿ+1，知b n=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，由此能夠求出S_n．
（3）由

3Sn+2

6Sn-2

=

1- 3 2n+1+1 +2

2- 6 2n+1+1 -2

=

3(1- 1 2n+1+1 )

- 6 2n+1+1

=

2n+1

-2

=-2n，f′(x)=ln(x-2n+1)，知當(dāng)x=2ⁿ時(shí)，f'（x）=0；x＞2ⁿ時(shí)，f'（x）＞0，由此能夠證明f（x）≥

3Sn+2

6Sn-2

成立．

解答：解：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2，∴數(shù)列{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，a_n-1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+1．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ+1，∴b n=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，Sn=

1

2+1

-

1

22+1

+

1

22+1

-

1

23+1

+

1

23+1

-

1

24+1

++

1

2n+1

-

1

2n+1+1

=

1

3

-

1

2n+1+1

．
（3）證明：

3Sn+2

6Sn-2

=

1- 3 2n+1+1 +2

2- 6 2n+1+1 -2

=

3(1- 1 2n+1+1 )

- 6 2n+1+1

=

2n+1

-2

=-2n，f′(x)=ln(x-2n+1)，
當(dāng)x=2ⁿ時(shí)，f'（x）=0；x＞2ⁿ時(shí)f'（x）＞0，f（x）在（2ⁿ，+∞）上遞增；2ⁿ-1＜x＜2ⁿ時(shí)，f(x)min=-2n=

3Sn+2

6Sn-2

∴f（x）≥

3Sn+2

6Sn-2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、數(shù)列前n項(xiàng)和的解法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意迭代法、錯(cuò)位相減法和導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用．