Question

已知點(diǎn)B（0，t），點(diǎn)C（0，t-4）（其中0＜t＜4），直線PB、PC都是圓M：（x-1）²+y²=1的切線．
（Ⅰ）若△PBC面積等于6，求過點(diǎn)P的拋物線y²=2px（p＞0）的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在y軸右邊，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用△PBC面積等于6，確定P的坐標(biāo)，結(jié)合直線PB與圓M相切，即可求過點(diǎn)P的拋物線y²=2px（p＞0）的方程；
（Ⅱ）確定PB，PC的方程，求出P的橫坐標(biāo)，表示出△PBC面積，即可求得最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x_p，y_p），由已知x_p＞0，
∵，∴x_p=3，∴，（2分）
設(shè)直線PB與圓M切于點(diǎn)A，
∵，∴PA=2，
∵M(jìn)（1，0）∴，∴，
∴，∴（6分）
（Ⅱ）∵點(diǎn) B（0，t），點(diǎn)C（0，t-4），（7分）
∴兩條切線方程為：，（9分）
∴，
∴，
∵0＜t＜4，∴x_p＜0或，
∵x_p＞0，∴，（13分）
∴，
又∵t=2時(shí)，，∴△PBC面積的最小值為（15分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．