Question

已知兩個(gè)等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和分別為A_n和B_n，且

An

Bn

-

24

n+3

=7，則使得

an

bn

為整數(shù)的正整數(shù)n一共有

5

個(gè)．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中間項(xiàng)之間的關(guān)系解題

解答：解：由

An

Bn

-

24

n+3

=7，得

An

Bn

=

7n+45

n+3

．
∵數(shù)列{a_n}和{b_n}是等差數(shù)列，
由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得

an

bn

=

1 2 (a1+a2n-1)

1 2 (b1+b2n-1)

=

1 2 (2n-1)(a1+a2n-1)

1 2 (2n-1)(b1+b2n-1)

=

A2n-1

B2n-1

=

7(2n-1)+45

(2n-1)+3

=7+

12

n+1

（n∈N^*）．
故n=1，2，3，5，11時(shí)，

an

bn

為整數(shù)．
使得

an

bn

為整數(shù)的正整數(shù)n一共有5個(gè)．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差中項(xiàng)的綜合應(yīng)用以及分離常數(shù)法，數(shù)的整除性是傳統(tǒng)問題的進(jìn)一步深化，對(duì)教學(xué)研究有很好的啟示作用．已知兩個(gè)等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和分別為A_n和B_n，則有如下關(guān)系

an

bn

=

A2n-1

B2n-1

．此題是中檔題．