Question

如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分別為VA、VB、VC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面EFG∥平面VCD；

(2)若二面角V－BC－A、V－DC－A依次為45°、30°，VA＝1，求直線VB與平面EFG所成的角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵E、F、G分別為VA、VB、BC的中點(diǎn)， 　　∴EF∥AB，F(xiàn)G∥VC， 　　又ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD， 　　又∵EF?平面VCD，F(xiàn)G?平面VCD， 　　∴EF∥平面VCD，F(xiàn)G∥平面VCD， 　　又EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面VCD． 　　(2)∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD． 　　則∠VDA為二面角V－DC－A的平面角， 　　∴∠VDA＝30°．同理∠VBA＝45°． 　　作AH⊥VD，垂足為H，由上可知CD⊥平面VAD，則AH⊥平面VCD． 　　∵AB∥平面VCD，∴AH即為B到平面VCD的距離． 　　由(1)知，平面EFG∥平面VCD，則直線VB與平面EFG所成的角等于直線VB與平面VCD所成的角，記這個(gè)角為． 　　∵AH＝VAsin60°＝VA，VB＝VA，∴sin＝＝