Question

一剪刀剪出一條正弦曲線．

把一張紙卷到圓柱形的紙筒面上，卷上幾圈．用剪刀斜著將紙筒剪斷，再把卷著的紙展開，你就會看到：紙的邊緣線是一條波浪形的曲線．

你知道嗎？這條曲線就是正弦曲線！請你來證明這一事實．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：如圖，設紙筒底面半徑為1單位長，截面(橢圓面)與底面所成的二面角為(定值)，截口的中心為．

　　過作圓柱的直截面，交截口曲線于兩點．取其中一點為O，在過點O且與圓柱側(cè)面相切的平面內(nèi)，以點O為坐標原點建立直角坐標系，使得Oy軸是圓柱的一條母線．

　　設點P是截口曲線上任意一點，點Q是點P在⊙所在平面內(nèi)的射影，過Q作QH⊥O，垂足為H，連結(jié)PH，則∠PHQ是截面與底面所成二面角的平面角，所以∠PHQ＝．又設∠QO＝α(變量)．

　　在下圖中，設P點坐標為(x，y)，以下分別計算P點的橫坐標和縱坐標．

　　x＝O＝＝α，y＝P＝QP＝QH·tan，

　　而在Rt△QH中，QH＝sinα，所以y＝tan·sinα．

　　令A＝tan(定值)，則有y＝Asinα．

　　這就證明了截口曲線是一條正弦曲線．