Question

10．設(shè)二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值為12，且不等式f（x）＜0的解集為（0，5）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于x∈R，不等式f（x）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求f（x）的解析式；（2）結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴0，5是方程f（x）=0的兩個(gè)根，且拋物線開(kāi)口向上，
設(shè)f（x）=ax（x-5），a＞0．
則對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{5}{2}$，
∵f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值，
此時(shí)f（-1）=6a=12，解得a=2．
則f（x）=2x（x-5）．
（2）若對(duì)于x∈R，不等式f（x）＞m恒成立，
即m＜f（x）min，而f（x）=2x²-10x=2${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$-$\frac{25}{4}$，
f（x）的最小值是-$\frac{25}{4}$，
故m＜-$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次函數(shù)解析式的求解，以及一元二次函數(shù)最值的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．