Question

某班要從5名男生3 名女生中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，請分別求出滿足下列條件的方法種數(shù)：
（1）所安排的女生人數(shù)必須少于男生；
（2）其中的男生甲必須是課代表，但又不能擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；
（3）女生乙必須擔(dān)任語文課代表，且男生甲必須擔(dān)任課代表，但又不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．

Answer 1

解：（1）所安排的女生少于男生包括三種情況，一是2個(gè)女生，
二是1個(gè)女生，三是沒有女生，
依題意得：（C₅⁵+C₃¹C₅⁴+C₃²C₅³）A₅⁵=5520；…（4分）
（2）先選出4人，有C₇⁴種方法，連同甲在內(nèi)，
5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，
有A₄¹•A₄⁴種方法，
∴方法數(shù)為C₇⁴•A₄¹•A₄⁴=3360種．
（3）由題意知甲和乙兩個(gè)人確定擔(dān)任課代表，需要從余下的6人中選出3個(gè)人，有C₆³=20種結(jié)果，
女生乙必須擔(dān)任語文課代表，則女生乙就不需要考慮，
其余的4個(gè)人，甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，
∴甲有3種選擇，余下的3個(gè)人全排列共有3A₃³=18
綜上可知共有20×18=360
分析：（1）所安排的女生少于男生包括三種情況，一是2個(gè)女生，二是1個(gè)女生，三是沒有女生，寫出這三種情況求和即可．
（2）先選出4人，有C₇⁴種方法，連同甲在內(nèi)，5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，寫出算式．
（3）甲和乙兩個(gè)人確定擔(dān)任課代表，需要從余下的6人中選出3個(gè)人，有C₆³=20種結(jié)果，女生乙必須擔(dān)任語文課代表，則女生乙就不需要考慮，其余的4個(gè)人，甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，甲有3種選擇，余下的3個(gè)人全排列．
點(diǎn)評：排列組合問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用，在計(jì)算時(shí)要求做到，兼顧所有的條件，先排約束條件多的元素，做的不重不漏，注意實(shí)際問題本身的限制條件．