Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且與直線l：x-y-1=0交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若右頂點(diǎn)到直線l的距離等于

2

2

，求橢圓方程．
（2）設(shè)△AF₁F₂的重心為M，△BF₁F₂的重心為N，若原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)，求a²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓右頂點(diǎn)到直線l的距離等于

2

2

列式求出a的值，結(jié)合已知和b²=a²-c²求出b²，則橢圓的方程可求；
（2）因?yàn)锳，B在直線l：x-y-1=0上，所以設(shè)A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由重心坐標(biāo)公式求出M和N的坐標(biāo)，利用原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)得到

OM

•

ON

＜0，代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得a²的取值范圍．

解答：解：（1）由橢圓右頂點(diǎn)到直線l的距離等于

2

2

，得

|a-0-1|

2

=

2

2

，解得a=2，由c=1，所以b²=a²-c²=3．
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由題意設(shè)A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），
由

y=x-1 (a2-1)x2+a2y2=a2(a2-1)

，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0
x1+x2=

2a2

2a2-1

，x1x2=

2a2-a4

2a2-1

∵直線AB：x-y-1=0過焦點(diǎn)F₂（1，0），
∴△AF₁F₂的重心M（

x1

3

，

x1-1

3

），
△BF₁F₂的重心N（

x2

3

，

x2-1

3

），
因?yàn)樵�點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)，
所以

OM

•

ON

=

x1x2

9

+

(x1-1)(x2-1)

9

=

2x1x2-(x1+x2)+1

9

=

2× 2a2-a4 2a2-1 - 2a2 2a2-1 +1

9

＜0，
解得，a2＞1+

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)轉(zhuǎn)化為

OM

•

ON

＜0，進(jìn)一步運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是有一定難度題目．