Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n滿足s_n=

1

4

(an+1)2，且an＞0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=20-a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最大值．

Answer 1

分析：解：（1）由s_n=

1

4

(an+1)2，且an＞0．當(dāng)n≥2時，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，利用a_n=S_n-S_n-1，可得a_n-a_n-1=2．又a1=

1

4

(an+1)2，解得a₁=1，可得數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，．
（2）由（1）可得b_n=20-a_n=20-（2n-1）=21-2n．利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出T_n=

n(19+21-2n)

2

=-n²+20n，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出T_n取得最大值．

解答：解：（1）∵s_n=

1

4

(an+1)2，且an＞0．當(dāng)n≥2時，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，
∴an=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n-a_n-1=2．又a1=

1

4

(an+1)2，解得a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由（1）可得b_n=20-a_n=20-（2n-1）=21-2n．
∴T_n=

n(19+21-2n)

2

=-n²+20n=-（n-10）²+100．
∴當(dāng)n=10時，T_n取得最大值100．

點評：本題考查了a_n=S_n-S_n-1、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．