Question

設函數(shù)f（x）=xe^x-x（

a

2

x+1）+2．
（1）若a=1，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x≥0時，f（x）≥x²-x+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的導函數(shù)的解析式，分析區(qū)間（-∞，-1），（0，+∞），（-1，0）上導函數(shù)的符號，進而可得f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x≥0時，f（x）≥x²-x+2，即即e^x≥

a+2

2

x，分當x=0時和當x＞0時，分別討論a的取值范圍，最后綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=xe^x-x（

1

2

x+1）+2．
∴f′（x）=（e^x-1）（x+1）
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0；
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞）
函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（-1，0）
（2）由f（x）≥x²-x+2，得xe^x-x（

a

2

x+1）+2≥x²-x+2，即x（e^x-

a+2

2

x）≥0
又由x≥0，故e^x-

a+2

2

x≥0，即e^x≥

a+2

2

x
當x=0時，顯然成立；
當x＞0時，e^x≥

a+2

2

x，可化為

ex

x

≥

a+2

2

，令g（x）=

ex

x

，則g′（x）=

ex(x-1)

x2

由x∈（0，1）時，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，
可得當x=1時，g（x）取最小值e，
故e≥

a+2

2

，
解得a≤2（e-1）

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，是導數(shù)的綜合應用，難度中檔．