Question

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

用最小二乘法求線性同歸方程系數(shù)公式

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

．
（Ⅰ）請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；
（Ⅱ）請根據(jù)圖表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程

y

=

b

x+

a

；
（Ⅲ）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)（Ⅱ）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？（參考數(shù)值：3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5）

Answer 1

考點：線性回歸方程

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，可估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，即可求出降低標準煤的噸數(shù)．

解答： 解：（1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）由對照數(shù)據(jù)，計算得

4

i=1

xi2=86，

4

i=1

xiyi=66.5，

.

x

=4.5，

.

y

=3.5，
∴回歸方程的系數(shù)為b=0.7，a=0.35，
∴所求線性回歸方程為y=0.7x+0.35
（3）由（2）求出的線性回歸方程，估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.7×100+0.35=70.35（噸），
∴降低90-70.35=19.65噸標準煤．

點評：本題考查線性回歸方程，兩個變量之間的關系，除了函數(shù)關系，還存在相關關系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關系的了解．