已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦點(diǎn)為F1、F2，M為雙曲線上一點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，且tan∠MF1F2=
1
2
，則雙曲線的離心率（　�。�
A、
2
B、
3
C、2
D、
5
分析：根據(jù)F1F2為圓的直徑，推斷出∠F1MF2為直角，進(jìn)而可推斷出tan∠MF1F2=
|MF1|
|MF2|
求得|MF1|的關(guān)系|MF2|，設(shè)|MF1|=t，|MF2|=2t．根據(jù)雙曲線的定義求得a，利用勾股定理求得c，則雙曲線的離心率可得．
解答：解：∵F1F2為圓的直徑
∴△MF1F2為直角三角形
∴tan∠MF1F2=
|MF1|
|MF2|
=
1
2

設(shè)|MF1|=t，|MF2|=2t
根據(jù)雙曲線的定義可知a=
2t-t
2
=
1
2
t
4c2=t2+4t2=5t2，
∴c=
5
2
t
∴e=
c
a
=
5

故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和基本的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•許昌三模）已知雙曲線c：
x2
a
-
y2
b
=1（a＞．，b＞0）的半焦距為c，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)大于
2
2
3
be2．（e為雙曲線c的離心率），則e的取值范同是
（
2
，
3
）
（
2
，
3
）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•寧波模擬）已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的離心率的范圍是數(shù)集M，設(shè)p：“k∈M”； q：“函數(shù)f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域?yàn)镽”．則P是Q成立的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：寧波模擬 題型：單選題

已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的離心率的范圍是數(shù)集M，設(shè)p：“k∈M”； q：“函數(shù)f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域?yàn)镽”．則P是Q成立的（　�。�
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線c：
x2
a
-
y2
b
=1（a＞．，b＞0）的半焦距為c，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)大于
2
2
3
be2．（e為雙曲線c的離心率），則e的取值范同是______．

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